数量关系实用解题法系列之“容斥问题”
一、知识要点
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。它的基本形式有两种：
(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为 A∩B;属于集合A或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
二、解题方法
(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。
两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数 ------两者都不满足的个数
三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数
(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。画图法核心步骤：
①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。
(3)三集合整体重复型核心公式：
假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
三、例题解析：
例1、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人
A.27人 B.25人 C.19人 D.10人
【答案】B
【解析】设两种实验都做对的有x人，根据核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25
例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?
A.12 B14 C15 D.19
【答案】C
【解析】根据核心公式：34+29-x=60-12，解得x=15
例3、某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课均未选的有多少人?
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【答案】B
【解析】根据核心公式：40+36+30-28-26-24+20=50-x，解得x=2
例4、如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是： A.15 B.16 C.14 D.18
【答案】B
【解析】根据核心公式：64+180+160-24-70-36+x=290，解得x=16
复杂容斥原理问题、条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。 画图法核心步骤： 一、画圈图; 二、填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); 三、做计算 。
例5、某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人
A. 1人 B.2人 C.3人 D.5人
【答案】C
【解析】题目中所求条件不能用公式来表示时，用文氏图法。其步骤如下：
(1)画图，标数字，先填最外层，再填最内层，通过简单的四则运算，最后填中间 (2)只会说一种语言的人为2+2+1=5，一种语言也不会说的人有：12-(2+2+1+2+1+1+1)=2，因此，只有说一种语言的比一种语言都不会说的人多5-2=3人。
例6、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?
A.120 B.144 C.177 D.192
【答案】A
【解析】设接受调查的学生有x人，根据三集合整体重复型核心公式有：63+89+47-46-2×24=x-15，解得x=120。
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在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。它的基本形式有两种：
(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为 A∩B;属于集合A或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
二、解题方法
(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。
两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数 ------两者都不满足的个数
三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数
(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。画图法核心步骤：
①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。
(3)三集合整体重复型核心公式：
假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
三、例题解析：
例1、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人
A.27人 B.25人 C.19人 D.10人
【答案】B
【解析】设两种实验都做对的有x人，根据核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25
例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?
A.12 B14 C15 D.19
【答案】C
【解析】根据核心公式：34+29-x=60-12，解得x=15
例3、某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课均未选的有多少人?
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【答案】B
【解析】根据核心公式：40+36+30-28-26-24+20=50-x，解得x=2
例4、如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是： A.15 B.16 C.14 D.18
【答案】B
【解析】根据核心公式：64+180+160-24-70-36+x=290，解得x=16
复杂容斥原理问题、条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。 画图法核心步骤： 一、画圈图; 二、填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); 三、做计算 。
例5、某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人
A. 1人 B.2人 C.3人 D.5人
【答案】C
【解析】题目中所求条件不能用公式来表示时，用文氏图法。其步骤如下：
(1)画图，标数字，先填最外层，再填最内层，通过简单的四则运算，最后填中间 (2)只会说一种语言的人为2+2+1=5，一种语言也不会说的人有：12-(2+2+1+2+1+1+1)=2，因此，只有说一种语言的比一种语言都不会说的人多5-2=3人。
例6、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?
A.120 B.144 C.177 D.192
【答案】A
【解析】设接受调查的学生有x人，根据三集合整体重复型核心公式有：63+89+47-46-2×24=x-15，解得x=120。
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